大隈OKUMA機(jī)床 | 五軸數(shù)控機(jī)床為什么是五軸聯(lián)動(dòng)而非六軸聯(lián)動(dòng)呢？

　　在腦海里通常會(huì)有這樣一個(gè)概念：三維空間中的一個(gè)物體具有6個(gè)自由度。如下圖所示：

　　該坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系，這六個(gè)自由度分別為：沿著X、Y、Z三個(gè)軸的直線自由度；和繞著X、Y、Z三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)自由度，旋轉(zhuǎn)方向的正方向滿足右手螺旋定則，見(jiàn)下圖。

　　由于這個(gè)概念的影響，直觀上，很可能會(huì)誤以為“實(shí)現(xiàn)空間任意方向進(jìn)行加工，機(jī)床就得擁有6個(gè)自由度或6個(gè)軸”。但事實(shí)是：空間物體有6個(gè)自由度，并不意味著能實(shí)現(xiàn)任意角度加工的機(jī)床就必須包含6個(gè)軸。這是問(wèn)題的關(guān)鍵。

　　従來(lái)の三軸加工機(jī)では、複雑な加工面をもった部品や、穴がさまざまな方向にある製品を加工する際に、工具を任意の方向から加工物に當(dāng)てるために特殊治具を用いたり、數(shù)回にわたって段取り替えを行っていた。しかし近年では、複雑形狀部品を高速?高精度で加工できる同時(shí)五軸制御加工機(jī)が使われ始めている。[1]

　　傳統(tǒng)的三軸機(jī)床在加工包含復(fù)雜表面或是具有各個(gè)方向孔的工件時(shí)，為了使得刀具從各個(gè)方向與工件接觸，需要用到特殊的夾具，并且還要進(jìn)行多次地工序變換。但使用五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床，可以實(shí)現(xiàn)在單次裝夾下進(jìn)行復(fù)雜形狀工件的高速、高精密加工。

　　也就是說(shuō)，刀具（或測(cè)頭）可以從任意方向接近工件，才是機(jī)床實(shí)現(xiàn)任意角度加工的根本原因。

　　而機(jī)床是通過(guò)控制刀具（或測(cè)頭）的位置和姿態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)工件的加工（或測(cè)量）。因此，關(guān)鍵問(wèn)題或者說(shuō)前提是如何描述刀具（或測(cè)頭）的位置和姿態(tài)。

　　三軸數(shù)控機(jī)床

　　在三軸數(shù)控機(jī)床的加工過(guò)程中，雖然刀具（或測(cè)頭）的位置在不斷變化，但是刀具（或測(cè)頭）的姿態(tài)卻是固定的。例如，一般立式三軸機(jī)床的刀軸方向在加工過(guò)程中一直沿著機(jī)床的Z軸的方向。通過(guò)X、Y、Z三個(gè)直線軸的坐標(biāo)值即可完全確定刀具（或測(cè)頭）的位置和姿態(tài)。[2]

　　三軸數(shù)控機(jī)床示意圖

　　五軸數(shù)控機(jī)床

　　通常情況下，五軸機(jī)床是在三軸機(jī)床的基礎(chǔ)之上添加了兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，通常用A、B、C軸來(lái)分別代表繞三個(gè)直線軸X、Y、Z、Y、Z的旋轉(zhuǎn)軸。五軸機(jī)床包含A、B、C軸中的任意兩個(gè)軸。

　　注意，上圖只是想表達(dá)旋轉(zhuǎn)軸和直線軸之間的關(guān)系，不要誤以為上圖是實(shí)際五軸機(jī)床的配置形式，實(shí)際五軸機(jī)床的旋轉(zhuǎn)軸只包含上圖A、B、C軸中的兩個(gè)，即A、B軸，或A、C軸，或B、C 軸。在五軸加工中，由于這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的存在，導(dǎo)致刀具（或測(cè)頭）的位置和姿態(tài)均會(huì)改變。顯然，刀具（或測(cè)頭）的位置在選定了主軸上的某個(gè)參考點(diǎn)后，可以通過(guò)三個(gè)直線軸X、Y、Z、Y、Z、Y、Z的坐標(biāo)軸進(jìn)行確定（當(dāng)然，實(shí)際操作中還要考慮旋轉(zhuǎn)中心到刀尖點(diǎn)的距離）。

　　但是刀具（或測(cè)頭）姿態(tài)呢？

　　為了描述加工（或測(cè)量）過(guò)程中刀具（或測(cè)頭）的姿態(tài)，就衍生出了“刀軸矢量”這個(gè)概念。刀軸矢量是一個(gè)三維的單位向量(i, j, k)，其中每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)刀軸方向的單位向量在直線軸X、Y、Z、Y、Z、Y、Z三個(gè)方向的投影值。

　　由于刀軸矢量是一個(gè)單位矢量，其模長(zhǎng)為1。所以刀軸矢量的頂點(diǎn)在空間中的所有可能的位置構(gòu)成了一個(gè)球面。

　　而任意的刀軸矢量方向，都可以通過(guò)由空間中的某個(gè)矢量繞著空間中兩個(gè)不共線的軸旋轉(zhuǎn)得到。

　　這樣說(shuō)有點(diǎn)抽象，但是我們生活中就有一個(gè)很好的例子——“經(jīng)緯度”（其實(shí)也就是上圖中的φ和θ角）。我們可以通過(guò)經(jīng)緯度確定地球球面上的任意位置。經(jīng)緯度僅僅包含兩個(gè)坐標(biāo)值，而這兩個(gè)坐標(biāo)值通過(guò)兩個(gè)互相垂直的旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角即可描述。

　　如下圖，在確定球面上某個(gè)點(diǎn)的位置時(shí)（每個(gè)點(diǎn)都與一個(gè)刀軸矢量一一對(duì)應(yīng)），可以通過(guò)兩種坐標(biāo)系描述。

　　采用左邊的球面坐標(biāo)系，也稱(chēng)球面坐標(biāo)的顯式表達(dá)（即，經(jīng)緯度，包含兩個(gè)坐標(biāo)值，也就對(duì)應(yīng)了兩個(gè)自由度，因?yàn)榻?jīng)度和緯度之間是相互獨(dú)立的）；

　　采用右邊的直角坐標(biāo)系，也稱(chēng)球面坐標(biāo)的隱式表達(dá)（包含了三個(gè)坐標(biāo)值，但依舊對(duì)應(yīng)兩個(gè)自由度，因?yàn)檫@三個(gè)坐標(biāo)值之間包含一個(gè)隱性約束：X2+Y2+Z2=1 ）。[3]

　　球面坐標(biāo)的顯式表達(dá)和隱式表達(dá)

　　所以，由兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度即可描述球面上一個(gè)確定的位置。而這個(gè)確定的球面位置點(diǎn)朝著直線軸X、Y、Z三個(gè)方向的投影值就是用來(lái)描述刀具（或測(cè)頭）姿態(tài)的刀軸矢量。

　　這樣，兩個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角度和刀軸矢量之間就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。實(shí)際五軸加工中，數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)數(shù)控程序中的刀軸矢量，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解得到兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸各自的旋轉(zhuǎn)角度，結(jié)合直線軸的坐標(biāo)值，進(jìn)而控制兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸和三個(gè)直線軸，使刀具（或測(cè)頭）運(yùn)動(dòng)到預(yù)定的位姿（位置和姿態(tài)）。

　　用一個(gè)通俗但不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)法就是，只需要在三軸機(jī)床的基礎(chǔ)之上再增加兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸（可以通俗理解為一個(gè)確定經(jīng)度，一個(gè)確定維度），就能夠控制刀具從空間中的任意方向接近被加工工件，實(shí)現(xiàn)任意復(fù)雜曲面的加工。

　　而在三軸機(jī)床的基礎(chǔ)之上再增加兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，并且能夠依靠數(shù)控系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)，以及RTCP（Rotation tool center point）等功能實(shí)現(xiàn)五軸聯(lián)動(dòng)加工的數(shù)控機(jī)床，自然就是五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床。[4]

　　關(guān)于歐拉角的補(bǔ)充

　　可能有人會(huì)類(lèi)比圖形學(xué)或機(jī)器人學(xué)，所以我覺(jué)得我有必要在最后補(bǔ)充一下，關(guān)于圖形學(xué)中歐拉角的問(wèn)題。

　　例如，在描述一個(gè)飛機(jī)的空間姿態(tài)時(shí)，會(huì)用到三個(gè)歐拉角，即yaw（偏航）、pitch（俯仰）和roll（翻滾），如下圖。

　　為什么描述飛機(jī)姿態(tài)需要考慮三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，而刀軸矢量卻只需要考慮兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角呢？

　　因?yàn)榕c描述飛機(jī)姿態(tài)不同的是，在描述刀軸矢量時(shí)，如果將繞刀軸方向定義為roll方向，則該roll方向的角度我們是不關(guān)心的。換句話說(shuō)，刀具繞主軸的旋轉(zhuǎn)并不會(huì)影響刀軸矢量，只需要靠yaw和pitch就能得到所謂的經(jīng)緯度了。這也是為什么描述刀軸矢量只要兩個(gè)自由度。

　　希望最后這段解釋能夠幫助相關(guān)領(lǐng)域的人理解這之間的區(qū)別。